高等数学_王天泽_课后答案

liang183

第1章函数与极限
微积分学中的基本概念，如连续、导数和积分等，都是以极限理论为基础的.极限思想方法是高等数学中的一个重要思想方法，极限理论推动了数学理论的发展，促使许多实际问题得以解决.在近代数学许多分支中，一些重要的概念与理论都是极限和连续函数概念的推广、延拓和深化.因此，理解和掌握极限思想和方法是学好微积分的关键.
1.1函数
1.1.1变量的变化范围
我们知道，在实际问题中有变量与常量之分.所谓变量，是指一个可以被赋予任何值的量.如果它的值是固定的，称为常量(也称为常数).这里需要将任意常数和**常数区分开来.在具体问题研究中，任意常数可以保持任何给定的值，而**常数则在所给定的问题中都保持相同的值.例如，半径为r的圆周长为2 r;这里r为任意常数，而2和 为**常数.
对于任何变量都有一定的变化范围，例如，电子产品的使用寿命、天气的温度等.变量的变化范围也就是变量的取值范围，通常用区间或邻域表示，它们是实数集合R的一个子集.区间是*熟悉的常见的实数轴上的点集，它是以下几种点集的总称.设a;b2R，定义以下的区间集合.
(1)闭区间[a;b]=fxja6x6bg;一个点a组成的集合fag=[a;a]也是闭区间.
(2)开区间(a;b)=fxja<x<bg:
(3)半开半闭区间(a;b]=fxja<x6bg(左开右闭)，[a;b)=fxja6x<bg(左闭右开).
(4)对±2R;且±>0，称区间为点a的±邻域，记为.如果不强调，可记为U(a).称为点a的去心邻域，记为^U
以上区间称为有限区间，类似可定义以下无限区间.
此即全体实数集合R:一般地，把全体实数集R与.1;+1组成的集合称为扩充实数集
对以上区间(2)，(5)和(7)，它们有一共性，即其中任意一点x0，存在邻域U(x0)，使得U(x0)完全属于该区间.一般地，设E是R的一个子集，如果对任意x02E;存在邻域U(x0).E，则称集合E为开集.特别地，U(x0)是一开集.如果F是R的子集，存在开集E，使F=R.E;则称F为闭集.显然，开集的余集为闭集，闭集的余集为开集;开区间为开集，闭区间为闭集.开集、闭集的概念超出本书范围，请读者自行查阅相应参考书.
在本书中，符号Q;N;C分别表示有理数集合、正整数集合和复数集合.
1.1.2函数的定义
定义1.1设有两个非空实数集合A与B，如果有这样一个对应法则f，使得按照该法则，对于A中的每一个数x，在B中都有**的数y与之对应，那么称f是定义在A上且取值于B的函数.其中A称为函数f的定义域，记为D(f);与x对应的y记为y=f(x);集合fyjy=f(x);x2D(f)g称为函数f的值域，记为R(f).显然R(f)μB:若视x;y为变量，则x为自变量，y为因变量.
函数关系的实质是变量之间的一种确定的对应关系(图1.1)，其含义是指对定义域内每一个x，按对应法则f总有**确定的y与之对应.因此，单值性是函数的一个重要特征.此外，函数的定义与自变量及因变量用什么字母表示无关.例如，函数y=f(x)同样可以用s=f(t)表示.
图1.1图1.2
定义域与对应法则是确定函数的两个因素，这是函数*本质的特征(图1.2).因此，对两个函数来说，当且仅当它们的定义域和对应法则都相同时，表示同一个函数.例如，函数f(x)=jxj与函数g(x)=px2是同一个函数，而函数f(x)=1与函数g(x)=x就不是同一个函数，因为后者要求
从几何上看，在平面直角坐标系中，点集f(x;y)jy=f(x);x2Ag称为函数y=f(x)的图像，它通常构成一条曲线，y=f(x)称为这条曲线的方程.
函数的表示法包括公式法、图像法、表格法和描述法，但在理论研究和后续学习中，公式法是比较常用的一种表示法，图像法是一种比较直观的几何表示法，表格法和描述法是比较少用的特殊表示方法.需要注意的是，函数用公式法表示，但没有明确其定义域，此时我们约定该函数的定义域就是使该公式有意义的一切实数.例如，y=px意味着x>0:
公式法表示函数，有时未必能用一个式子表示.例如，符号函数
再如，Dirichlet①(狄利克雷)函数
称这种形式的函数为分段函数.分段函数是一个函数，在其定义域的不同部分用不同的式子表示其对应规律.但要注意“伪”分段函数.例如，
不是分段函数.因为另外，Dirichlet函数说明了一个重要的问题:函数的图像并不是都可以在直角坐标系中刻画出来的，也就是说图像法不能表达所有的函数.
例1.1解答下列问题:
(1)在区间(.1;0)内，函数是否为同一个函数？
(2)求函数的定义域;
(3)已知函数f(x)的定义域为[0;1];求f(x.a)+f(x+a)(a>0)的定义域.
解(1)由于
注意到x<0;知f(x)=.p1.x:所以，g(x)与f(x)在给定的定义域内是同一个函数.
(2)要使函数有意义，x需满足
解之，得于是，函数的定义域为
(3)根据题意，有，解之，得
因为a>0;所以当1.a>aμ0<a6
解.于是，所求定义域为
例1.2设x2R;用[x]表示不超过x的**整数，如
所表示的函数为取整函数.显然，取整函数满足不等式
对于函数f(x)，如果其定义域为正整数集合N;可简记为，称为数列
用fang表示(为简单起见，以后仍记为an).其中an表示数列的通项，n表示数列的项数.
1.1.3几类特殊的函数
1.有界函数
设I为函数f(x)的定义区间①，如果存在常数M1;M2，使得对任意的
则称函数f(x)是区间I上的有界函数.其中M1和M2分别称为函数f(x)的下界和上界.如果这样的M1和M2至少有一个不存在，则称函数f(x)是区间I上的无界函数.换句话说，对任意给定的数M，总有一点x02I，使得f(x0)M:
例如，函数y=sinx在其定义域R内有界，因为对任意x2R;都有从几何上看，有界函数的图像介于直线y=M1和y=M2之间.
综上，注意两点:①函数f(x)的有界性与给定的区间有关，函数f(x)=在区间[1;2]上有界，但在区间(.1;1)上无界;②函数f(x)在区间I上有界的充分必要条件是f(x)在区间I上既有上界，也有下界.
例1.3判定函数f(x)=xsinx在R上的有界性.因此，对任意的M>0;只要n>M，都有f(x0)>M:因此函数f(x)在R上无界.
2.单调函数
设I为函数f(x)的定义区间，如果对任意的x1;x22I;当x1<x2时，总有
f(x1)<f(x2);
则称f(x)是区间I上的单调增加函数，简称单增函数;当x1<x2时，总有
f(x1)>f(x2);
则称f(x)是区间I上的单调减少函数，简称单减函数.单调增加函数和单调减少函数统称为单调函数.
如果对任意的x1;x22I;当x1<x2时，总有
则称函数f是区间I上的单调不减函数(单调不增函数).
例如，函数f(x)=x2在区间[0;+1)上单调增加，在区间(.1;0]上单调减
少，但在区间(.1;+1)上不是单调函数;函数f(x)=x3在区间(.1;+1)上是
单调函数.
对数列an=f(n)而言，相应地，可以给出有界数列、无界数列、单调数列的
概念.
3.奇函数和偶函数
若函数f(x)在定义域内满足
f(x)=.f(.x);
则称函数f(x)是奇函数;若满足
f(x)=f(.x);
则称函数f(x)是偶函数.
例如，在R上，函数y=sinx是奇函数，函数y=cosx是偶函数，但函数y=sinx+cosx既非奇函数，也非偶函数.
根据奇函数和偶函数的定义，立即可以得到如下结论:偶函数的图形关于y轴对称;奇函数的图形关于原点对称，若奇函数在原点有定义，则f(0)=0
请读者自行讨论奇函数、偶函数经四则运算后得到的函数的奇偶性.
4.周期函数
设函数f(x)的定义域为D，如果存在T>0;对任意x2D;有x+T2D，且
f(x)=f(x+T);
则称函数f(x)是周期函数，T称为f(x)的周期.
如果在周期中存在*小的正值，通常称为*小正周期.需要说明的是，周期函数不一定存在*小正周期.例如，Dirichlet函数就是一个不存在*小正周期的周函数.如果数T>0是函数f(x)的周期，则都是f(x)的周期.
Dirichlet函数D(x)是一个很特别的函数，它是有界的偶函数，且任何有理数都是其周期，但没有*小正周期.
例1.4确定下列函数的奇偶性:
其中f(x)在R上有定义，且对任何的
恒有
解(1)由于
所以，函数f(x)为奇函数.
(2);经计算，易知
因此，g(x)为奇函数.
即f(x)为奇函数.于是，函数F(x)为偶函数.</x2时，总有
</x2时，总有
</f(x2);
</x2时，总有
</a6
</x6bg(左开右闭)，[a;b)=fxja6x<bg(左闭右开).
</x<bg:

<x<bg:
<x6bg(左开右闭)，[a;b)=fxja6x<bg(左闭右开).
<a6
<x2时，总有
<f(x2);
<x2时，总有
<x2时，总有

</x2时，总有
</x2时，总有
</f(x2);
</x2时，总有
</a6
</x6bg(左开右闭)，[a;b)=fxja6x<bg(左闭右开).
</x<bg:

<x<bg:
<x6bg(左开右闭)，[a;b)=fxja6x<bg(左闭右开).
<a6
<x2时，总有
<f(x2);
<x2时，总有
<x2时，总有

</x2时，总有
</x2时，总有
</f(x2);
</x2时，总有
</a6
</x6bg(左开右闭)，[a;b)=fxja6x<bg(左闭右开).
</x<bg:

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