概率论与数理统计教程(茆诗松)

liang183 · 发表于 2016-10-19 15:32:06

第一章随机事件与概率

1.1 随机事件及其运算

1.1.1 随机现象

在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象.在相同条件下可以重复的随机现象又称为随机试验.

1.1.2 样本空间

随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为，其中表示基本结果，又称为样本点.样本点是今后抽样的最基本单元.

1.1.3 随机事件

随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件.

1.1.4 随机变量

用来表示随机现象结果的变量称为随机变量.

1.1.7 事件域

定义1.1.1 设为一样本空间，为的某些子集所组成的集合类.如果满足：

(1)；

(2)若，则对立事件；

(3)若，则可列并.

则称为一个事件域，又称为代数.

在概率论中，又称为可测空间.

1.2 概率的定义及其确定方法

1.2.1 概率的公理化定义

定义1.2.1设为一样本空间，为的某些子集所组成的一个事件域.若对任一事件，定义在上的一个实值函数满足：

(1)非负性公理若，则；

(2)正则性公理；

(3)可列可加性公理若互不相容，有

则称为事件的概率，称三元素为概率空间.

第二章随机变量及其分布

2.1 随机变量及其分布

2.1.1 随机变量的概念

定义2.1.1 定义在样本空间上的实值函数称为随机变量.

2.1.2 随机变量的分布函数

定义2.1.2 设是一个随机变量，对任意实数，称

为随机变量的分布函数.且称服从，记为.

2.1.4 连续随机变量的概率密度函数

定义2.1.4 设随机变量的分布函数为，如果存在实数轴上的一个非负可积函数，使得对任意实数有

则称为连续随机变量，称为的概率密度函数，简称为密度函数.

密度函数的基本性质

(1)非负性；

(2)正则性 .

第三章多维随机变量及其分布

3.1 多维随机变量及其联合分布

3.1.1 多维随机变量

定义3.1.1 如果定义在同一个样本空间上的个随机变量，则称

为维(或元)随机变量或随机向量.

3.1.2 联合分布函数

定义3.1.2 对任意的个实数，则个事件同时发生的概率

称为维随机变量的联合分布函数.

3.4 多维随机变量的特征数

3.4.5 随机向量的数学期望与协方差阵

定义3.4.3 记维随机向量为，若其每个分量的数学期望都存在，则称

为维随机向量的数学期望向量，简称为的数学期望，而称

为该随机向量的方差—协方差阵，简称协方差阵，记为.

例3.4.12(元正态分布) 设维随机变量的协方差阵为，数学期望向量为.又记，则由密度函数

定义的分布称为元正态分布，记为.

第四章大数定律与中心极限定理第一章随机事件与概率