2018我对“求平均数问题”认识发展的三个“台阶”

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　　我对小学数学中的“求平均数（算术平均数）问题”的认识，经历了一个发展提高的过程。认识不同，教 学方法上也有不同的设计。这个过程，大体有三个“台阶”。 nbsp;nbsp;nbsp; 第一个“台阶”。求平均数是除法计算的应用 nbsp;nbsp;nbsp; 传统的小学算术以计算为中心，教材中应用题、几何知识等的安排都是围绕计算进行的，求平均数当然是 除法计算的应用。 nbsp;nbsp;nbsp; 在除法中，被除数除数＝商；而在求平均数中被除数一般是若干个数的和，有时除数也会是若个数的和 。 nbsp;nbsp;nbsp; 教学要点： nbsp;nbsp;nbsp; 1.通过简单求平均数应用题的教学，概括出求平均数应用题的基本数量关系式： nbsp;nbsp;nbsp; 总数份数＝平均数。 nbsp;nbsp;nbsp; 2.运用基本数量关系式解应用题。教学时要注意两点：先找出“主干”，再理清“枝叶”。“主干”指基 本数量关系。如： nbsp;nbsp;nbsp; 修路队前4天共修路840米，后3天共修路588米。这一个星期平均每天修路多少米？ nbsp;nbsp;nbsp; 这题的基本数量关系是“工作量工作时间＝工作效率”，就是： nbsp;nbsp;nbsp; 附图{图} nbsp;nbsp;nbsp; 得（840＋588）（4＋3）＝204（米）。 nbsp;nbsp;nbsp; 第二个“台阶”。求几个数的平均数，实质上是“移多补少”，使这几个数大小相等，表示这个相等的数 就是要求的平均数 nbsp;nbsp;nbsp; 根据这样的认识，教学时除了用“总数份数＝平均数”的一般方法求平均数之外，还应该教学生先观察 数据，估计平均数是多少，算出误差，移多补少，得出平均数。例如： nbsp;nbsp;nbsp; 下面是一个小组数学期中考试的成绩，这个小组同学的平均分是多少？ B>姓名 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) /B>nbsp;nbsp;nbsp;B> 王小英 张大勇 宋明方 赵一刚 叶莉芳 方良才 汪兴 平均分 /B>B>分数 94 100 95 100 88 96 85 /B>nbsp;nbsp;nbsp; 解：观察，估计：这一小组成绩不错，估计平均分可得90分。 nbsp;nbsp;nbsp; 算误差：（1）号比估计平均分多4分，记作“＋4”（如果少4分，记作“－4”），这样得到误差为： nbsp;nbsp;nbsp; （1）号（2）号（3）号（4）号（5）号（6）号（7）号 nbsp;nbsp;nbsp;B> ＋4 ＋10 ＋5 ＋10 －2 ＋6 －5 /B>nbsp;nbsp;nbsp; ───────────────────────────── nbsp;nbsp;nbsp; 小计：＋35 －7 nbsp;nbsp;nbsp; “＋”与“－”相抵消还有“＋28”。 nbsp;nbsp;nbsp; 就是估计平均90太低了，还必须加上287＝4分，即实际平均分是90＋4＝94（分）。 nbsp;nbsp;nbsp; 这样，求平均数的方法就比较灵活、简便了。 nbsp;nbsp;nbsp; 第三个“台阶”。平均数是统计工作中综合反映研究对象某种数量一般水平的具有代表性的数 nbsp;nbsp;nbsp; 当科学进入到由大量元素组成的、具有众多自由度的复杂体系时，数学怎样从总体上把握这些看似偶然的 随机事件中所蕴含的规律性？这是“数理统计”的任务。小学里教学的“求平均数”，就是最常用的、比较简 单的统计方法之一。 nbsp;nbsp;nbsp; 随机性、统计性的思想反映了自然界和人类社会大量随机现象的偶然性、不确定性，又表明随机现象的发 生总是趋向一个确定的平均值，这又是必然的、确定的。小学求平均数的教学要渗透这个辩证思想。 nbsp;nbsp;nbsp; 教学要点： nbsp;nbsp;nbsp; 1.进行一次实地调查，获得原始数据 nbsp;nbsp;nbsp; 人们在生产管理、科学实验或其他工作中，常常要根据需要，对工作的对象进行调查，并把调查所得的数 据进行整理、研究，以便从总体上把握对象。如为了了解四年级同学的身体生长发育情况，要调查他们的身高 、体重等，为了了解某班同学的学习成绩好坏，去调查这个班同学各科（或某一科）的成绩等。 nbsp;nbsp;nbsp; 下面是四（1）班24个女同学身高的数据（单位：cm）： nbsp;nbsp;nbsp; 140 128 136 134 139 140 143 136 130 135 138 nbsp;nbsp;nbsp; 142 145 139 140 139 142 146 146 138 140 144 nbsp;nbsp;nbsp; 139 149 nbsp;nbsp;nbsp; 2.整理数据 nbsp;nbsp;nbsp; 原始数据杂乱无章，加以整理才便于看出它们整体的规律。 nbsp;nbsp;nbsp; 把上面24个数据从小到大（也可以从大到小）依次排列，得到： nbsp;nbsp;nbsp; 128 130 134 135 1362 1382 1394 1404 1422 nbsp;nbsp;nbsp; 143 144 145 1462 149 nbsp;nbsp;nbsp; 3.小组讨论 nbsp;nbsp;nbsp; 怎样用上面的数据说明这24位同学身高的总的情况呢？ nbsp;nbsp;nbsp; A：这班女同学中身高139～140厘米的有8人之多； nbsp;nbsp;nbsp; B：可以说四（1）班女同学中的“中等身材”身高是在139～140厘米之间。 nbsp;nbsp;nbsp; 师：以上说法都可以反映这班女同学身高的大致情况，在统计工作中一般用“平均数”（板书）来表示。 nbsp;nbsp;nbsp; 4.求平均数的方法 nbsp;nbsp;nbsp; 把这24个原始数据加起来，它们的总和除以加数的个数24，就得平均数139.5。就是说，四（1）班女同学 的平均身高是139.5厘米。 nbsp;nbsp;nbsp; 5.关于平均数的讨论 nbsp;nbsp;nbsp; 引导学生讨论后得出： nbsp;nbsp;nbsp; （1）“平均身高”与上面A，B的说法作比较： nbsp;nbsp;nbsp; 每个女同学身高的数据都会影响“平均身高”的数值，而A，B的说法则否。如果我们对“女同学身高”这 一事件，只要作粗略的了解就可以了，那么可采用A，B的说法；如果要科学一些，那么可以用平均数表示。“ 平均数”是统计学中的一个重要、很有用的知识。 nbsp;nbsp;nbsp; （2）平均数是一种统计性的数值，而不是指某一个具体的数量。如这个例题里平均身高是139.5厘米，而 这24 个同学里却没有一人身高是139.5厘米的（不过她们中很多人身高接近139.5cm）。当然，也常常有平均身 高正是他们多数人的身高的，如一个篮球队，场上队员身高是：197cm，190cm，189cm，189cm，180cm，他们的 平均身高正是189cm。还有一种情况，我们讲人数总是指的整数，而平均人数却可以是0.5 个、甚至0.01个等。 nbsp;nbsp;nbsp; （3）把平均身高139.5厘米与每个人的身高作比较，超过139.5厘米的数，在数据前用“＋”号表示，不足 之数用“－”号表示， 如下： nbsp;nbsp;nbsp; -11.5，－9.5，－5.5，－4.5，－3.5，－3.5，－1.5，－1.5， nbsp;nbsp;nbsp; －0.5，－0.5，－0.5，－0.5，＋0.5，＋0.5，＋0.5，＋0.5， nbsp;nbsp;nbsp; ＋2.5，＋2.5，＋3.5，＋4.5，＋5.5，＋6.5，＋6.5，＋9.5。 nbsp;nbsp;nbsp; “＋”、“－”相抵消，差是0。 nbsp;nbsp;nbsp; 说明平均数是在总数不变的情况下“移多补少”的结果，因此也可以用“移多补少”的方法求平均数。 nbsp;nbsp;nbsp; （4）从上面所述可以看到：尽管四（1）班24个女同学身高的情况各人是不同的，但可以用这些数据的平 均数代表全班女同学身高的总体情况；如果这个班的情况不是太特殊的话， 我们还可以据此推出四（2）班、 四（3）班女同学身高的总的情况， 甚至可以推断某地区四年级女生身高的总体情况。这样，人们由已知推及 未知的本领就更大了。 nbsp;nbsp;nbsp; 上述第一个“台阶”是基础，着眼于计算平均数的基本方法。第二“台阶”，认识了对象各个数据的内部 关系，计算方法也比较灵活。第三个“台阶”，放眼现代科学技术的发展，让小学生从小就学习一点如何处理 复杂现象的基本方法，如何从随机事件的不确定性中初步窥见其趋于平均值的必然规律，这是形势对我们的要 求。但是这恐怕要超过现行教材的要求了，可以先作活动课进行试验。                                       /div>/td>