2018实对称矩阵有定性在经济分析中的运用研究

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　　摘要:通过实对称矩阵有定性在计量经济学和微观经济学部分择优问题中的运用的探讨,对相关经济理论进行了数学定量解释,帮助加深对相关经济理论的理解。结合具体例子所作的详细说明为理论的运用提供了一般方法,该方法为实对称矩阵有定性理论在其他问题中的运用可以方便地移植。
　　关键词:实对称矩阵;有定性理论;经济分析;择优理论
　　中图分类号:F12文献标志码:A文章编号:1673-291X(2010)33-0007-07
　　
　　在当代各门学科中,经济学已经成为应用数学知识最为普遍、最为深入的学科之一。其中,矩阵理论在经济学的文献中得到广泛的运用。作为特殊矩阵的实对称矩阵的有定性更是择优分析中判定最优解不可或缺的有力工具。本文仅对实对称矩阵的正定性、半正定性、负定性、半负定性在相关经济分析中的运用进行初步探讨。
　　一、实对称矩阵有定性判别的主要方法
　　记A=(aij)n×n为n阶方阵,=(xi)n×1为n维列向量,AT、T分别为A与的转置矩阵和转置向量。A=AT且aij∈R(i,j=1,2,…,n),则A为n阶实对称矩阵。
　　1.相关定义
　　定义(1)设 f(x1,x2,…,xn)=TA为实二次型,A为实对称矩阵,那么:  思想汇报 http:///sixianghuibao/
　　1) 对任意≠,恒有TA0,则称A为正定矩阵。
　　2) 对任意,恒有TA≥0,则称A为半正定矩阵。
　　3) 对任意≠,恒有TA0,则称A为负定矩阵。
　　4) 对任意,恒有TA≤0,则称A为半负定矩阵。
　　5) 若TA符号不定,则称A为不定矩阵。
　　定义(2)设A、B都是n阶对称矩阵,若A-B为半正定矩阵,则称A≥B。
　　定义(3)设A是n阶矩阵,从中任取(i1,i2,…,ik)行和(i1,i2,…,ik)列,由其交点元素按原来次序排列而成的k阶行列式,称为A的一个k阶主子式,记为|Dk|;从中取前k行、前k列,由其交点元素按原来次序排列而成的k阶行列式,称为A的k阶顺序主子式,记为|Ak|。
　　定义(4)设A是n阶矩阵,对≠,若A=λ,则称λ是A的特征值,是属于特征值λ的特征向量,其中λ是标量。
　　2.相关定理
　　定理(1)设A是n阶实对称矩阵,则A的n个特征值为A的特征方程|A-λE|=0的解,记为λ1,λ2,…,λn (重根按重数计算)。那么 λi∈R(1≤i≤n)。
　　定理(2)设A是n阶实对称矩阵,λi(i=1,2,…,n)是A的特征值,则有:
　　1)A是正定矩阵?圳λi0,1≤i≤n。
　　2)A是半正定矩阵?圳λi≥0,1≤i≤n。
　　3)A是负定矩阵?圳λi0,1≤i≤n。
　　4)A是半负定矩阵?圳λi≤0,1≤i≤n。  论文代写 http://
　　5)A是不定矩阵?圳λi符号不定,1≤i≤n。
　　定理(3)设是阶实对称矩阵,则有:
　　1)A是正定矩阵?圳|Ak|0,1≤k≤n。
　　2)A是半正定矩阵?圳|Dk|≥0,1≤k≤n。
　　3)A是负定矩阵?圳(-1)k|Ak|0,1≤k≤n。
　　4)A是正定矩阵?圳-A是负定矩阵。
　　5)A是半正定矩阵?圳-A是半负定矩阵。
　　定理(4)若n阶对称矩阵A是正定的,则A-1、A*也是正定矩阵,其中A-1是A的逆矩阵,A*是A的伴随矩阵。
　　定理(5)设A(aij)n×k,且A的秩r(A)=k,则ATA=C=(cij)k×k是正定矩阵。
　　二、在计量经济学古典线性回归模型中的应用
　　(一)线性回归模型的参数估计
　　1.线性回归模型的基本假定
　　假定(1)(线性假定)
　　yt=β1xi1+β2βxi2+…+βkxik+εi (i=1,2,…,n)
　　其中,βi (i=1,2,…,k) ,是未知待估参数,εi是第i次观测产生的随机误差项。
　　假定(2) (严格外生性)
　　E(εI|X)=0(i=1,2,…,n);X=(xij)n×k
　　假定(3) (无多重共线性)
　　r(X)=k,即矩阵X为满列秩矩阵。
　　假定(4) (误差的球面方差)
　　1)同方差E(ε2i|X)=σ20(i=1,2,…,n)
　　2)观测值不相关E(εiεj|X)=0(i,j=1,2,…,n;i≠j)
　　2.模型的矩阵表示  论文代写 http://
　　记Ti=(xi1,xi2,…,xik),=(β1,β2,…,βk)T
　　=(β1,β2,…,βk)T,=(β1,β2,…,βk)T,X=(xij)n×k
　　则假定(1)可以用下面矩阵表达式表示:
　　=X+
　　3.未知参数向量的最优估计值的确定(OLS估计值)
　　称=-X为观测的残差向量,则εi=yi-T是第i期观测的残差。那么,n期观测残差的平方和为:
　　 (yi-T)2=(-X)T (-X)
　　它是向量-X对自己的内积,也是向量与X向量距离的平方。现在的任务是寻找适宜的,使当用估计时,与X的距离最小。
　　显然,T=(-X)T (-X)
　　 =(T-TXT)T (-X)
　　 =T-TX-TXT+TXTX
　　 =T-2TX+TXTX(注:TXT为标量)
　　 =T-2T+TA (注:≡XT,A≡XTX)
　　T不依赖于,对T求导时,其导数为零。
　　A是对称矩阵,根据矩阵的微分知识可知:
　　=, =2A [1]
　　于是=-2+2A
　　由择优一阶必要条件:令-2+2A=?圯A=,得到唯一稳定点=A-1 ?圯=(XTX)-1XT(注:由假定(3)及定理(5)知道是正定矩阵,所以A可逆)
　　再考察择优的二阶充分条件,=2A。因为A是正定矩阵,所以2A也是正定矩阵,2A就是周知的海赛矩阵,由于海赛矩阵处处正定是为唯一绝对极小值的充分条件,因而,是T的最小值点。
　　(二)在OLS估计量的有限样本性质证明中的运用  论文代写 http://
　　在OLS估计量的有限样本性质中,有一个著名的高斯—马尔科夫定理:根据古典线性回归模型的基本假定,OLS估计量是有效的线性无偏估计量。换言之,对于任何一个的线性无偏估计量,都存在矩阵形式的关系式Var(|X)≥Var(|X)。
　　该定理证明过程如下:因是的线性函数,可以写成=C,C是X的函数构成的矩阵。令D≡C-A或C≡D+A且A≡(XTX)-1XT,于是:
　　=(D+A)
　　 =D+A
　　 =D(x+)+(注:=X+与A=(XTX)-1
　　XT=)
　　 =DX+D+
　　两边取条件期望得到:
　　E(|X)=DX+E(D|X)+E(|X)
　　因为与都是的无偏估计量,即E(|X)=E(|X)=
　　所以,DX+E(D|X)=,且E(D|X)=ED(|X)=
　　于是D=。若对于任意都要求D=成立,则必须满足DX=O。因此,=D+,且-=D+(-)=(D+A)
　　(注:-=(XTX)-1XT-=(XTX)-1XT(X+)-
　　=((XTX)-1(XTX))+(XTX)-1XT-