普通高中同步练习册数学_A2-2_参考答案

liang183

参考答案与解析

第一章　导数及其应用

1.1　变化率与导数

1.1.1　变化率问题

1.1.2　导数的概念

题型分类指导

【例题1】 解:Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=2(x0+Δx)2+1-(2+1)=4x0·Δx+2(Δx)2,

∴函数f(x)=2x2+1在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为

=4x0+2Δx,

当x0=1,Δx=时,

平均变化率为4×1+2×=5.

【例题2】 解:当自变量从0变到Δx时,函数的平均变化率为k1=.

当自变量从变到Δx+时,函数的平均变化率为k2=.

由于是在x=0和x=附近的平均变化率,可知|Δx|较小,

但Δx既可为正,又可为负.

当Δx>0时,k1>0,k2<0,此时有k1>k2;

当Δx<0时,k1-k2=

=.

∵Δx<0,∴Δx-<-,

∴sin<-.

从而有sin<-1,sin+1<0,

∴k1-k2>0,即k1>k2.

综上可知,正弦函数y=sin x在x=0附近的平均变化率大于在x=附近的平均变化率.

以上数据说明:正弦函数y=sin x在x=0处附近的平均变化率较大,图象比较陡峭;而在x=附近变化率较小,图象比较平缓.

【例题3】 解:∵Δy=(1+Δx)-

=Δx+1-=Δx+.

∴=1+,

∴=2.

从而f'(1)=2.

【例题4】 解1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt=5-3=2,

物体在t∈[3,5]内的位移变化量为

Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48,

∴物体在t∈[3,5]内的平均速度为

=24(m/s).

(2)求物体的初速度v0,即求物体在t=0时的瞬时速度.

∵物体在t=0附近位移的平均变化率为

=

=3Δt-18,

∴物体在t=0处位移的瞬时变化率为

(3Δt-18)=-18,

即物体的初速度v0=-18 m/s.

(3)物体在t=1时的瞬时速度即为物体在t=1处位移的瞬时变化率.

∵物体在t=1附近位移的平均变化率为

==3Δt-12,

∴物体在t=1处位移的瞬时变化率为

(3Δt-12)=-12,

即物体在t=1时的瞬时速度为-12 m/s.

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