2018一个重要极限的简单推广及运用

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　　摘要：第二个重要极限在极限计算中占有很重要的地位，它是解决未定型极限的一个重要工具。但它形式变化多样，在学习和使用中不易把握，是学生学习中的一个重点和难点。本文在分析了limx(1+1x)x=e及其常用推广公式的共同特征后，对其解决00型未定式求极限中作了进一步的推广，得到简易公式，并给出相应运用。
　　关键词：第二个重要极限;00型未定式;公式推广;运用
　　一、第二个重要极限limx(1+1x)x=e的特征
　　在高等数学课本中，一般都有第二个重要极限limx(1+1x)x=e的简单推广公式：
　　limx(1+1口)口=e，
　　limx0(1+x)1x=e，
　　limx0(1+口)1口=e，方框□代表任意形式下的同一变量。
　　如limx(1+1f(x))f(x)=e
　　limx0(1+f(x))1f(x)=e.它们的共同特征是：
　　1.都是1型的未定式;
　　2.求极限的函数都是幂指函数(幂指函数是指数形式，但底和指数部分都是函数)，其形式皆为底函数为两项之和，且第一项必须为1，第二项与指数函数互为倒函数;
　　3.底函数的第二项在趋向下极限为0。
　　但是对于形式不是幂指函数的函数，如对1型的未定式取对数，1型就变成了0型，0型又可变化为01，即00型。转化后的0型和00型表现形式都不再是幂指形式。但其极限的求法仍需要用第二个重要极限来求。
　　下面我们给出几个00型未定式极限的推广公式。
　　二、第二个重要极限的推广
　　推广1：
　　limx0loga(1+x)x=logae(00型未定式)
　　证明：limx0loga(1+x)x
　　=limx0loga(1+x)1x
　　由复合函数求极限法则
　　loga(limx0(1+x)1x)=logae.
　　特别当a=e时
　　即得limx0ln(1+x)x=1
　　推广2：
　　limx0ax-1x=lna(00型未定式)
　　证明：变量代换，令t=ax-1，
　　则x=loga(1+t)，且当x0时，t0.
　　故limx0ax-1x=limt0tloga(1+t)
　　由推广1得：
　　limx0ax-1x=1logae=lna
　　特别当a=e时即得limx0ex-1x=1;
　　当x=1n时，
　　有limna1n-11n=limnn(na-1)=lna.
　　推广3：
　　limx0(1+x)a-1x=a(aR)(00型未定式)
　　证明：limx0(1+x)a-1x
　　=limx0ealn(1+x)-1aln(1+x)aln(1+x)x
　　=alimx0ealn(1+x)-1aln(1+x)limx0ln(1+x)x
　　由推广2的结论可得
　　limx0(1+x)a-1x=a
　　在求函数极限时，有些时候会化成上述的几种极限形式，而上面几种极限形式的推广式使用起来简单方便，易于理解。
　　三、推广公式的应用
　　例1.求limx01-cosaxx2
　　解：limx01-cosaxx2
　　=limx0(1+(cosx-1))a-1cosx-11-cosxx2
　　由推广式3可知
　　limx0(1+(cosx-1))a-1cosx-1=a
　　所以limx01-cosaxx2=a2
　　例2求limx0(ax+bx+cx2)1x(a,b,c0)
　　解：原式
　　limx0(1+ax+bx+cx-22)2ax+bx+cx12(ax-1x+bx-1x+cx-1x)
　　=elna+lnb+lnc2=abc