2018大气科学专业计算方法课程教学探索

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大气科学专业计算方法课程教学探索
计算方法又名数值分析、科学计算等，主要内容是介绍计算机求解数学问题的基本理论和方法。近几十年来，随着计算机技术的迅速发展，科学计算愈来愈成为解决科学问题不可或缺的手段，已经成为与理论研究、实验研究并行的第三种科学研究方法，其目的是根据数学模型的要求，通过算法设计和上机计算，快速准确得到科学及工程需要的结果。在一些学科中，科学计算更是展示了其强大和不可替代的功效，并逐步形成了各种交叉学科分支，如计算流体力学、计算化学等。正因如此，计算方法课程已经成为大学理工科的必修课，受到了高度重视。
　　大气科学是一门新型学科，主要研究地球大气运动的物理机制和规律，综合了应用力学、热力学、电磁学等物理原理，并结合地球大气自身的特点，研究大气中流体运动、光象、电象、声象的变化过程等。在大气科学近百年的发展历程中，科学计算始终与该学科紧密联系，尤其是在现代大气科学研究中，大量数值模式的应用和建立更是对该学科产生了重大而又深刻的影响。所谓的大气数值本质上就是在给定初始条件和边界条件的情况下，利用各种数值算法，求解大气运动的基本方程组，由已知的大气状态预测未来的大气运动状态。近年来，基于大气物理模型的各类复杂的数值模式，例如，美国国家大气研究中心研发的WRF模式，已经成功应用于天气预报及气候预测中，并成为大气科学研究中重要的工具。因此，了解和掌握科学计算的基本理论和方法对大气科学专业显得非常重要。
　　长期以来，国内外开设大气科学专业的本科院校中，计算方法课程均作为必修专业课，并且有较高要求，但是该课程在教学中却仍然存在一定的问题。一方面，该课程作为数学学科的一个重要分支，有纯数学高度抽象性和严密科学性的特点，难度较大，导致学生学习的兴趣和积极性均较低，为了降低难度，现行的教学过程中已然降低了数学的严格性要求，只用一些个例介绍算法，不利于培养学生严格的逻辑思考和推理能力。另一方面，该课程的教学内容缺乏与大气科学专业的有效结合，学生并不能很好地认识到该课程对未来科学研究或业务实践的重要性。
　　如何处理好这两方面的问题，已经成为该课程教学亟待解决的问题。作者本人三年来一直从事大气科学专业计算方法课程教学，并且在科学研究中广泛应用数值模式，深刻体会到该课程教学改革的必要性和紧迫性，并针对上述两方面的问题，积极寻求可能的解决和平衡方案。本文仅以计算方法课程中Gauss型求积公式为例，探索计算方法课程改革的可能性，以期提高大气科学专业计算方法教学的质量，同时也可为其他类似课程教学提供参考。
　　一 教学内容设计
　　课程讲授对象：大气科学专业大三学生，已经学习完高等数学、线性代数及大气物理学，Fortran程序设计等专业课程，具备一定的数学、专业课及计算机编程基础。
　　教材的选择：本课程课堂使用教材为白峰杉改编的《应用数值分析》、李庆扬等编的《数值分析》、冯烟利等译的《数值分析》，这三种教材的共同点是都较为详细地介绍了数值计算的基本理论，但是侧重点有所不同，其中李庆杨等编的《数值分析》理论性较强，弱化算法的介绍，而两本英文翻译教材理论性偏弱，但对算法介绍较为详细，并附有算法实现的伪代码。通过上述教材的选择，可以更好地实现内容互补。
　　教学内容：课程内容涵盖了科学计算的各个领域，本文只以教材中Gauss型求积公式为例。
　　1.理论教学设计
　　通过理论教学设计，要达到的教学目的是希望学生能理解Gauss型求积分公式的思想，能够从纯数学的角度思考这种求积分的构造方式，进而培养学生严格的逻辑推理能力。一般而言，典型的纯数学思考方式是引出问题，然后给出定义，再根据推理证明形成定理这样一个过程。因此理论教学环节中介绍了相应的基础知识后，遵循上述的步骤，一步步引导学生掌握Gauss型求积公式的数学思想。
　　基础知识：所谓插值型数值积分是将被积函数在某些节点上的函数值作加权求和并以该和值作为积分的近似值，即：
　　从而将求解积分值问题转化为函数值的计算问题，避开牛顿莱布尼茨公式需要求原函数的困难。插值型数值积分是一种近似的方法，我们希望选择不同的 和 ，使得（1）对尽可能多的被积函数f（x）是精确的。
　　问题1：在知晓了上述基础知识后，自然地，便引出第一个问题，多项式作为一类特殊的被积函数，求积公式也应该尽可能精确成立，是否可以通过衡量求积公式对多项式函数的准确性来判断求积公式的优劣呢？这时，我们便要引出代数精度的概念。
　　至此，通过上述的理论教学设计，回答了Gauss型积分公式涉及的理论问题。这个过程中处处体现了纯数学的抽象性、推理过程中逻辑的严密性，并利用定义、定理等方式强调和回答理论问题，可以加深学生对内容的印象。
　　2.数值实验教学的设计
　　计算方法课程教学的另一个重要目标便是通过数值实验设计，验证算法的可行性，提高学生的编程能力，最终理解数值算法甚至改进算法。为达到这个目标，首先给出一个简单的积分计算，然后编程计算一个较为复杂的积分。这部分教学中用到的方法主要是举例和编程计算。
　　通过编程计算，让学生理解较为复杂的一些定积分，可以通过编写程序计算出相应的求积节点和系数，这需要调用前面学习过的非线性方程求根方法的程序等。在此基础上，还可以通过误差分析等，真正理解数值算法与精确求解的区别，提高学生的编程能力。