2018三层框架考虑层间支援的柱计算长度

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　　摘要：传统计算长度系数法假定较多，虽然便于应用，但精度不高。主要在于传统计算长度系数法的理想假定会导致梁端约束在上下层柱之间分配不合理，从而导致计算长度出现较大偏差。考虑层间支援的柱计算长度计算可以解决这个问题。对于两层框架，通过求解一个一元二次代数方程得到各柱柱端的转动约束；对于三层框架，通过求解一个一元三次代数方程，得到各柱柱端的转动约束。本文主要阐述该方法在三层框架中的应用。
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　　关键词：层间支援多层框架计算长度系数
　　Abstract: The traditional calculation length coefficient method assume that more, although easy application, but accuracy is not high. Mainly lies in the traditional calculation of the length of the coefficient method ideal assume that will lead to the girder ends of the constraint in between column unreasonable distribution, leading to a larger length calculation error. Consider the column between layers support calculation length computation can solve the problem. For two layers framework, a yuan by solving a second algebraic equations all the column the column rotation constraints; For the three layers framework, by solving a a cubic algebraic equations, obtains each column column turning the constraints. This paper mainly discusses the method in three layers of the application of the framework.
　　Keywords: layers, multilayer frame, length factor, support calculation
　　
　　
　　中图分类号： TU323.5文献标识码：A 文章编号：
　　
　　
　　计算长度系数法长期以来作为确定框架柱计算长度的一种方法，得到了广泛的应用。尤其在确定单根受压柱的计算长度时，避免了对结构做整体的屈曲分析。而且由于它所取用的框架柱柱端抗转刚度系数简单明了，能够很方便地给出计算长度系数 值。但是传统的计算长度系数法有其不合理的地方，其原先的一些假定（如柱端转角隔层相等、各层层间侧移角相等）跟实际情况相去甚远，得到的 值精确度较差，而且，还会有偏危险的结果出现。
　　在有侧移失稳中，同层各柱轴力不同时各柱间存在着相互支援（Salem 1969）[1]，已经有公式来考虑这种相互支援作用对计算长度系数的影响。同样，失稳时不同层之间也存在着相互支援，这种相互支援主要通过对梁提供的约束在上下层柱之间进行按需分配来实现的，如果某层柱子失稳趋势很弱，则此柱子不仅无需得到梁的约束，甚至还可以对相邻层柱子提供转动约束。考虑层相互作用的框架柱计算长度，能够更好地反映结构失稳的整体性，能够得到更满意的结果。梁启智(1992)[4]介绍了确定框架柱计算长度系数的三个水平，水平一是传统方法，考虑同层各柱相互作用的方法为水平二，考虑层与层相互作用的方法为水平三。本文即是在水平三下研讨框架柱计算长度系数的确定。文献[3]针对两层有侧移框架演绎了该法的应用，本文将详细讲述该法如何应用于三层有侧移框架中。
　　1两层框架概述
　　为便于理解，本文先将两层框架情况予以简述。在确定多层有侧移框架柱的计算长度时，一般采用规范方法即查钢结构设计规范GB50017-2003附录D，或者利用近似公式（文献[2]）
　　（1）
　　式中 分别是柱上下端梁线刚度之和与柱线刚度之和的比值。若考虑同层各柱相互支援，则可采用下式对计算长度系数进行调整（水平二）
　　 （2）
　　式中 ， 是柱轴力， 为柱截面惯性矩， 为柱高。
　　文献[3]中，在水平三下引进“层间支援”的作用。采用假定为（参照图1）：（1）刚架屈曲时同层的各横梁两端转角大小相等，方向相同；（2）横梁中的轴力对梁本身的抗弯刚度的影响可以忽略不计；（3）各层柱按比例加载。设各柱Ci的荷载比例因子为 ，由于同时失稳，可得：
　　 （3）
　　设柱上、下端各有转动刚度为 、 的转动弹簧，则该柱的临界荷载为：
　　…（4）
　　式中代入了 值的近似值（1）式，并记 。
　　图2所示一般的两层框架，由B节点弯矩平衡，知 。以 为未知量，对AB柱： ， ；对BC柱： ， 。代入（4）式，并令 ，
　　
　　图1 有侧移框架屈曲模型 图2柱脚一般的两层框架
　　 ， ，， ， ，分别得到上柱AB及下柱BC的临界荷载，并据两者间的比例加载关系得到如下一元二次方程：
　　（5）
　　式中
　　
　　
　　得到 值后，即可求得各柱端转动约束刚度，相应得到BC柱： ， ，AB柱： ， 。由（1）式得 、 值。
　　2三层框架中柱计算长度确定
　　对于图3的三层有侧移框架，可以通过直接求解一个一元三次方程，得到三层问题中各个柱的计算长度系数。数学手册（文献[5]）介绍了一元三次方程的解法。
　　图4是图3的简化模型，图4中，令 ， ， ， ， ， ， ， ， ，由（4）式得到
　　
　　 图3 三层有侧移框架图4 柱脚固定的三层框架
　　各段柱临界荷载：（比例因子置于等式右侧）
　　 由上述三式两两相等，可以得到两个二元二次方程，经过简化得到：
　　（6）
　　式中， ，
　　 ，
　　 ，
　　 ，
　　消去 得到关于 的一个一元三次方程：
　　（7）
　　式中， ，
　　 ，
　　 ，
　　 ，
　　各 值分别为： ，
　　
　　 ，
　　 ，
　　 ，
　　方程式（7）的求解涉及到复数的运算，但经过大量的实例计算，发现该方程均有三个实根。于是可以直接写出式（7）的三个根的实数表达式，避免了复数运算。
　　令 ， ， ，这里 总是负值，也即方程式（7）有三个实根。同时令 ， ，可得三个实根分别为： ， ，
　　 。如何选择哪一个根作为我们的真实的 值，需要在得到 值和相应的 值后，分别写出各柱的 、 值，满足关系式 、 并且 的解即为我们所要求的解。（这是为了保证近似公式（1）式根号下表达式的分子、分母均大于零，避免出现分子、分母均小于零却得到解答的情况。）对应图4，各柱的 值表达式为：
　　下柱BC： ， ，（8a）
　　中柱AB： ， ，（8b）
　　上柱DA： ， ，（8c）
　　将（8a~c）式代入（1）式中即可得到各柱的 值。跟两层框架的二阶抗侧刚度一样，不论先算三段柱中的哪段柱，结果各柱 值都是相同的，各柱的 值满足关系 、 。
　　举例说明，图3中令 （ ）， ， ， ， ， ， ， ，于是 ， ， ， ， ， 。代入（7）式求解得到 ， ， ，代入（6）式求得 ， ， 。取 、 相应得到中柱AB的 ，故此解无意义，取 、 则中柱AB的 ，此解无意义，而取 、 时各柱的 、 值，均满足 、 和 的条件，是实际的正确解。取任意一层计算 值，由（3）式可得另外两层柱 值，这里，先算中柱AB， ， ，由（1）式得 ，由（3）式得 ， 。 此例经机算的精确解为 ， ， ，对比可知误差很小。
　　又如图3中，若令 ， ， ，让 、 在0.2~5之间取值，据上述 代数方法所得的 值与精确解的误差均在2%以内，见下表。
　　
　　
　　
　　3结语
　　从以上的公式推导和实例验算结果可以看出，用本文所介绍的改进后的柱计算长度系数方法计算三层有侧移框架柱计算长度精度很高。本文方法考虑到多层框架的层间支援作用，是水平三下的计算公式，既无需求解超越方程，也无需迭代求解，仅需初等代数运算即可完成，故其应用价值较高。
　　参考文献
　　1 Salem,A.H. Discussion of “Buckling Analysis of One-Story Frames” by A.Zweig and H.Kahn, Journal of the Structural Division.ASCE,Vol.95,No.ST5, May,1969
　　2 陈骥. 钢结构稳定理论和应用.科学出版社,2001年北京
　　3 王金鹏，童根树. 考虑层相互作用的框架柱计算长度. 钢
　　结构. 2004年第3期
　　4 梁启智. 高层建筑结构分析与设计. 华南理工大学出版社, 1992年广州
　　5 沈永欢等编,实用数学手册,科学出版社,1992年,北京
　　
　　注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。