2018经济学中的数学意义

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　　改革开放以来，西方经济学作为市场经济运行描述的基本理论，对我们经济学学习和研究的作用越来越重要。从学习和研究的角度看，似乎可以明显感觉到，西方经济学（本文中主要指新古典（综合）主义经济学）的理论体系、思维方式和推理方式的深刻特点之一表现在其数学性方面，也正是这一特征使人们常常把经济学看成是最接近自然科学的社会科学学科。因此，对一般数学的意义、数学与理论的科学性、数学在经济学研究中的意义和具体作用、及数学的限制等基本问题的深入思考，将有助于我们进一步认识和把握西方经济学的基本思想和理论特征，更好地学习、借鉴和认识西方经济学。
一、数学与理论的科学性
众所周知，数学作为一个独立的知识体系起源于古希腊，两千多年特别从牛顿时代以来，数学及其具体应用-----自然科学取得了辉煌的成就。长期以来人们习惯认为，能充分应用数学的学科或领域等价于科学，数学所显示出的人类理性能力、根源和力量在诸多自然科学领域也似乎得到了完美的体现。这自然使人们猜想，为什么不能把数学方法应用到社会学科领域去寻求其真理呢？西方经济学也许正是这种猜想的一个主要结果或实验。数学究竟能给经济学带来什么呢？在进一步分析经济学中数学的意义之前，我们应先来概略了解一下几个数学基础问题。
1、数学是什么？
简单回答这个问题是十分抽象的。例如若干著名学者认为，“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”。数学“是研究抽象结构的科学“。“数学是结构及其模型的科学”。 等等。数学在理论上的概括和科学的实际发展中，一般给人们的印象是，与其他学科相比，数学的特点可归结为更高度的抽象性、更严密的逻辑性和更广泛的应用性。因此，说数学是一切科学的根本基础，是科学的皇后，是十分自然的。
稍具体说，首先，数学概念是抽象的典范，几乎它的所有基本概念在现实世界中是找不到的，例如，点、线、面；自然数、实数、虚数和四元数等等；它们是抽象的，又是深刻的，极其奇妙地、精确地刻画自然事物的某种基本特征。其次，数学是严密逻辑推理的象征，其方法论的核心是演绎法，即从不证自明的公理出发进行演绎推理；其实质含义是，若公理为真，则可保证其演绎的结论为真；从逻辑上看，演绎法是清晰、合理和完美的，由数学推出的显然是毋庸置疑的正确结论。最后，由上面两点，数学应用的广泛性是不言自明的。
人的认识是无止境的，由于数学在科学发展中至高无上的地位，人们自然要进一步问，数学是绝对真理吗？亦即数学的抽象性是绝对无误的吗？数学的严密逻辑性是绝对可靠的吗？数学应用的广泛性是无限的吗？稍考察一下数学发展的历史可以看出，人们在这个问题的认识是不断变化发展的。
2、数学的真理性问题
十九世纪二十年代之前，数学的发展是顺利的，人们对于数学的真理性是确认的。特别是十五～十八世纪，数学的顺利发展达到高峰；这一时期一大批数学家同时在在数学和自然科学方面做出了惊人的成就，如哥白尼、开普勒、伽里略、笛卡尔、惠更斯和牛顿等。他们从许多方面证明了自然界的一些现象与数学定律相吻合，最突出是牛顿力学；所有这些极大地加强了数学作为绝对真理的信念，人们相信上帝设计了宇宙，而数学的作用就是揭示出这些设计。
然而十九世纪二十年代非欧几何的提出和集合论中悖论的出现，使整个科学界震动，它迫使数学家们从根本上改变了对数学性质的认识，以及数学和物质世界关系的理解，由此引出数学巨人之间关于数学基础的新数学方法而展开激烈的争论。如由弗雷格、罗素和怀特海为代表的逻辑主义认为，逻辑法则是一个真理体系，而所有的数学是可以由逻辑推导出来。同一时期，以克罗内克、鲍莱尔、彭家勒和贝尔为代表的直觉主义却认为，从逻辑原理所推导出来的东西，不比直觉感悟的更可信，数学可能是从经验开始的，但并不真正源于经验，而是来源于心智（经验只是唤醒心智）。第三大派系大卫·希尔伯特领导的形式主义认为，数学实际上是一些形式系统，各有各自的概念，各自的公理，各自的推导定理的法则，以及各自的定理，把每个演绎系统发展起来，就是数学。最后是以策梅罗、弗兰克尔为代表的集合论公理化学派，他们把解决悖论的方法寄托于集合论的公理化，即对所容许的集合类型加以限制，同时又使它们有充分的性质作为一切数学分析的基础。
到了本世纪三十年代，这四种彼此独立、不同的关于数学基础的方法已形成并相互对峙，人们再也不能说某一个数学定理已证明了，这时还必须加上是依哪个标准它才是被证实了。人们不禁要问这些数学是相容的吗？除了直觉主义认为人的直觉能保证相容性外，这个问题对于数学和科学来说，变得越来越重要和严峻。然而1931年著名数学家哥德尔得出了震惊世界的两个结论，其中对于数学基础问题研究具有毁灭性的结论是：任何数学系统，只要它能包含整数的算术，其相容性就不可能通过这几个基础学派（逻辑主义、形式主义和集合论公理化学派）采用的逻辑原理而建立。另一个结论也可称作“哥德尔不完备性定理”，它断言：不仅数学的全部，甚至任何一个系统，都不可能用类似哥德尔使用的能算术化的数学和逻辑公理系统加以概括，因为任何这样的公理系统都是不完备的。哥德尔的结论实际上表明，我们使用的任何数学方法都不可能借助于安全的逻辑原理来证实其相容性，亦即表明数学结果的绝对确定性和有效性已丧失。从更深刻的意义上说，歌德尔不完备性定理是对排中律的否定；即有些命题既不能被证明，也不能被证伪，而又有意义。
3、 数学的有效性
现在数学已发展这样一个阶段，逻辑主义、直觉主义、形式主义和集合论公理化主义，它们都有着某种不同的哲学基础，而难以形成某种共同的基础。而这似乎意味着这样一个事实：并不是只有一种而是有多种数学；亦即数学并不是一个独一无二的、严格的逻辑结构；它也许是一个人造体系，是一系列经过逻辑筛选、抽象和组织、是某种人所公认的非凡的直觉；这些直觉是我们的感觉器官、大脑和外部世界相结合的产物。任何一种数学或其分支都只是提供了某种可用的理论，根本意义上说数学也是一门自然科学，任何为其寻求绝对基础的企图是注定要失败的。
当然，自然科学发展的历史也表明，与任何其它实验科学相比，数学作为一种精确而有效的思维方法，相对来说是最为广泛和深刻、有效的；其作用也更为基本、更为重要。例如，在其它科学的历史发展中，都曾经发生过若干次根本性的变化，而在数学中，大部分逻辑和经典分析已使用了许多世纪（虽理论上存在某些深刻的问题），现在仍然还适用。从这个意义上说，数学又的确不同于其它科学，我们可以把它称为准经验知识。
数学在自然科学的应用中为什么能得出非凡的实际结论？为什么那些长而复杂的纯推理过程（纯推理是独立于经验的）能产生意想不到而又准确的结论？现在并没有令人满意的解释。一种解释是，人类试图从复杂的自然现象中猜想（提炼）出某些简单的系统，其性质能用数学来描述，正是人类这种抽象化能力产生了对自然令人惊异的数学描述。我们也必须清醒地看到，这种成功是有条件限制的，例如，数学成功的领域主要是物理世界或无生命的物质，其方法论是把物理世界用长度、质量、重量和时间等简单概念来刻画，也许由于其行为是可重复的，因而用数学描述是有效的。另一方面，其代价是牺牲自然世界的丰富性；数学只能是描述了自然某些简单化了的方面和过程，决不是全部。另外，在政治学、社会学、心理学、经济学和生物学等领域，数学的有效性就非常不明显了，这自然是由于研究对象的不同性质和复杂性所决定的。
如何认识数学的真理性问题，如何看待数学在自然科学中的有效性问题，如何理解数学在社会科学等领域中的作用问题，等等；这类的问题大都属于哲学的范畴；虽然实难形成确定性结论，但通过学习和思考得到的有关认识，对于我们学习和认识西方经济学是十分有益的，能使我们的看法更加深刻起来。
二、 经济学中数学应用意义的初步思考
西方经济学从亚当·斯密《国富论》起的二百多年来，已形成了一个庞大而较严密的理论体系。在整个社会科学中，经济学的理论形式、研究方法是公认为最接近自然科学的。我认为这实际上表明，数学作为一种理论信念、方法论和研究手段，十分明显地体现在西方经济学的基本特征中。下面具体展开谈一谈。
1、 经济学能成为一门科学吗？
提出这个问题至少有两个层次的含义：一是经济学和一般自然科学的研究对象有根本差别吗？二是西方经济学是如何具体进行科学研究的？从方法论的角度看，某些自然科学成功发展的历史似乎明确告诉人们，一门学科要想成为一门科学，起码要解决两个基本问题：一是要有坚强的科学信念，即坚信其理论研究对象的客观性或研究对象客观规律性；二是数学方法要成为研究的主要方法；这两个问题实际上是不可分离的。众所周知，经济学是研究关于人类行为的学科，而人类行为是很难简单看作是客观的。因此，西方经济学首先要解决其研究对象的客观性问题。
西方经济学在讨论经济学的研究对象时，往往引用最多的著名论述是约翰·梅纳德·凯恩斯的观点，在其名著《政治经济学的范围与方法》一书中，他指出“一门实证科学……是关于是什么这一类问题的系统的知识体系；而一门规范科学(或称管理科学)……关于应该是什么这一类问题的标准的系统的知识体系……。”这一观点把经济学分为实证经济学和规范经济学，同时强调实证经济学作为整个经济学基础的重要地位；美国著名经济学家弗里德曼也在其著名论文《实证经济学的方法论》中指出：“从原则上说，实证经济学是独立于任何特别的伦理观念或规范判断的。……。简言之，实证经济学是，或者说可以是一门‘客观的’科学，这里‘客观’一词的含义完全等同于任一自然科学上的定义。”西方经济学长期的发展过程中，模仿自然科学及方法的信念是十分坚定的，仅从其内容和研究方法看也是有效的。这一点从许多基本概念及思想就可见一斑，例如效用、边际、理性经济人、均衡、最大和最小原则、需求定律、理性预期等等。从方法论看，这些基本概念设定的一个核心思想是避免或消除经济关系中的不确定因素，从而使其研究能得到确定性或“规律性”的东西。又例如，“均衡”作为西方经济学中的核心概念和思想，是从亚当·斯密“看不见的手”的思想演变而来，实际上“看不见的手”的思想并不完全等同于“均衡”思想，原思想更深刻、更复杂和更宽泛得多，“均衡”是对其的简化，即去除其不确定性部分，形成某种确定性或新的明确信念。“均衡”似乎给我们更多的是某些确定性的结论或信念；（在某些非常严格的假设条件下）如供求定律、均衡价格的存在性、一般均衡、局部均衡、边际收益等于边际成本，等等。“均衡”是什么？是经济运行的基本特征或基本状态吗？我认为，“均衡”是一种精巧的理论构思，更是一种“科学的信念”，在解释和理解某些常规经济现象时是有分析力的，但更重要地是希望符合一般科学研究特征的要求。
如果我们期望（或假设）把人类经济现象能够作为科学研究的对象，或者说具有这样的坚定信念，则西方经济学的确是有成效的和富有智慧的。因此，经济学是否为一门科学，在很大程度上是一个信念问题，或者说其信念将产生巨大的影响。当然，把人类经济问题转化为科学研究的问题，光有信念是不够的，还必须有具体的思想、创造和方法；从方法论的角度看，也就是要解决数学在经济学中应用的基本思想及其假设。
2、 经济学中应用数学的思想及其假设
按传统流行的科学观，一门学科达到科学的一个重要标准是看它能否充分运用数学方法，西方经济学认为这对经济学也应是对的。另一方面，经济现象与自然现象又非常不同，它是一种与人、人类（文化、政治）历史进化、人与人关系等等一系列复杂的社会因素有关的、比自然现象更加复杂、不稳定的现象。把这样一种现象人为地转化为科学研究的对象，并达到数学能运用之，的确需要坚定的科学信念和具体的研究手段；其中最重要的就是，如何确定西方经济学中的有关基本假设及其思想。根据作者的初步认识，西方经济学中基本假设及其思想可概括如下：
（1）注重静态忽略动态。如“均衡”思想，强调静态均衡状态（特征）是一般经济运行的本质特征及其在经济学中的中心地位，而忽略实际经济运行过程及其不确定因素的分析。西方经济学相信任何经济运行过程是围绕均衡进行的，均衡是实际运行轨迹的中心线；均衡是客观的、确定的，即使实际经济运行可以是不稳定的但最终总是收敛于均衡的。正是基于这种认识，西方经济学研究中不考虑诸如历史文化、人际制度等复杂、易变的动态因素；着重研究静态的物与物、人与物的关系，而不考虑人与人的关系。例如，“均衡”这个概念没有历史、文化和制度的差异涵义，象一个物理定律（均衡概念及思想实际上来源于比较静态力学的研究思想）；又例如，西方经济学中经常出现的一个假设条件“假设其他条件不变”也是这一思想的具体反映。
（2）强调理性拒绝非理性。实际经济中，影响人的行为的因素是十分复杂的，如历史的、文化的、进化的、心理的和经济的等等因素混合其中；简言之，是理性因素和非理性因素综合作用的。科学（数学）的力量主要在于理性分析，而对非理性等的分析是无力的，理性等价于逻辑和确定性而排除不确定性。西方经济学自然也不能例外，在分析人类经济行为方面，可以说极端地相信和强调理性因素在人们行为中的作用，而完全避免非理性因素的作用。例如，西方经济学中的若干基本假设：理性经济人、效用的量化、生产者和消费者只追求最大利润和效用、生产者和消费者具有完全信息（知识）、供求定律、理性预期等等，十分明显的反映了这一思想；这些有关完全理性的假设在经济学中的核心作用是不言而喻的。
（3）追求确定性避免不确定性。自然科学的成功及其信念就是其理论在一定时空内的确定性；从方法上讲，上面两点的思想及有关假设的具体作用，实际上也是追求经济理论上的确定性，亦即为其理论的数学应用作信念及方法上的准备。另一方面，在具体研究中，则进一步表现为追求理论上确定性的形式，亦即分析、结论的几何和数学模型形式。值得注意的是，得到这些确定性的形式又需要具体满足各种数学方法正确运用的种种假设条件，哪怕是完全不现实的。例如，有关均衡的若干假设、市场上存在充分多的生产者和消费者以保证他们都只是价格的接受者、生产要素和商品的完全可替代性、供求曲线的设定、边际概念等价于导数、变量之间某种形式的“线性型”关系假设、规模收益不变假设等。
总之，可以理解的是，为了实现经济学的科学信念，方法上必须引入数学思想和方法，亦即演绎法：从创造性假设出发──经逻辑推理（数学推理）──得到确定性结论。值得指出的是，经济学中演绎法（数学）成功应用的关键，是巧妙和创造性地构思其演绎的前提──假设条件。我认为深入认识和理解其主要的假设及其思想，是认识西方经济学方法论及其数学意义的关键所在。
3、经济学中应用数学的方法论意义
西方经济学方法论的演变经历了一个长期过程，西方学者认为，十九世纪其思想基础是西方科学哲学中的“证实主义”，而二十世纪则是“证伪主义” ；“证伪主义”科学方法论的核心思想是彻底反对归纳法而推崇演绎法，而数学是演绎法的典范。我认为演绎法及其思想在经济学中应用的方法论意义，简单说具体表现在三个方面：即创造假设、数学推理、检验理论。下面稍稍展开谈一下。
（1）创造假设条件是理论假说演绎推理的关键和必要条件。确立假设条件一个最基本目的，就是要创造性地简化现实经济现象的复杂性,从而确立现象间联系假说的核心结构，并建立演绎推理确定性的前提。一般来说,不同假设下所形成的分析思路、分析范围和分析方法往往是不同的；不明确提出假设条件,理论本身将显得含糊不清,无法形成理论讨论中的共同规范,往往会造成对同一理论认识和理解的不同,容易引起理论基本概念的混乱,这将阻碍理论研究中科学探讨统一基础的形成。另外，值得注意的是，西方经济学的假设条件中往往包含了其理论假说演绎的大前提；这里所谓“大前提”即是理论假说或假设条件的核心；它实际上蕴涵了理论假说的基本思想、主要结论和演绎的最终前提。应指出的是，根据“证伪主义”的思想，所谓“大前提”的形成是研究者“自由创造”的结果，而无需什么严密的逻辑推理或经验事实依据；实际上，不同理论或学派的主要思想分歧或创新，往往表现在其演绎“大前提”的不同。因此，我们应特别认识到假设条件在经济学中的方法论意义。