2014高三数学下册期中试题（理科）

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2014高三数学下册期中试题(理科)
(考试时间120分钟 满分150分)
本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
(1)复数 在复平面内对应的点位于
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
(2)已知集合 ，集合 ，则
(A) (B) (C) (D)
(3)已知平面向量 ， 满足 ， ，则 与 的夹角为
(A) (B) (C) (D)
(4)如图，设区域 ，向区域 内
随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落
入到阴影区域 的概率为
(A) (B)
(C) (D)
(5)在 中， ， ，则“ ”
是“ ”的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
(6)执行如图所示的程序框图,输出的S值为
(A) (B)
(C) (D)
(7)已知函数 .下列命题：
①函数 的图象关于原点对称; ②函数 是周期函数;
③当 时,函数 取最大值;④函数 的图象与函数 的图象没有公共点，其中正确命题的序号是
(A) ①③ (B)②③ (C) ①④ (D)②④
(8)直线 与圆 交于不同的两点 ， ，且 ，其中 是坐标原点，则实数 的取值范围是
(A) (B)
(C) (D)
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.
(9)在各项均为正数的等比数列 中， ， ，则该数列的前4项和
为 .
(10)在极坐标系中， 为曲线 上的点， 为曲线 上的点，则线段
长度的最小值是 .
(11)某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积
为 ;表面积为 .
(12)双曲线 的一个焦点到其渐近线的距离是 ，则 ;
此双曲线的离心率为 .
(13)有标号分别为1,2,3的红色卡片3张，标号分别为1,2,3的
蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放在2行3列的格内
(如图).若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数
为 .(用数字作答)
(14)如图，在四棱锥 中， 底面 .底面 为梯形， ， ∥ , ， .若点 是线段 上的动点，则满足 的点 的个数是 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
(15)(本小题满分13分)
已知函数 ， .
(Ⅰ)求 的值及函数 的最小正周期;
(Ⅱ)求函数 在 上的单调减区间.
(16)(本小题满分13分)
某单位从一所学校招收某类特殊人才.对 位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：
一般 良好 优秀
一般
良好
优秀
例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有 人.由于部分数据丢失，只知道从这 位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为 .
(I)求 ， 的值;
(II)从参加测试的 位学生中任意抽取 位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思
维能力优秀的学生的概率;
(III)从参加测试的 位学生中任意抽取 位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学
生人数为 ，求随机变量 的分布列及其数学期望 .
(17)(本小题满分14分)
如图，四棱锥 的底面为正方形，侧面 底面 . 为等腰直角三角形，且 . ， 分别为底边 和侧棱 的中点.
(Ⅰ)求证： ∥平面 ;
(Ⅱ)求证： 平面 ;
(Ⅲ)求二面角 的余弦值.
(18)(本小题满分13分)
已知函数 ， .
(Ⅰ)求函数 的单调区间;
(Ⅱ)若函数 在区间 的最小值为 ，求 的值.
(19)(本小题满分14分)
已知椭圆 经过点 ，离心率为 .(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)直线 与椭圆 交于 两点，点 是椭圆 的右顶点.直线 与直线 分别与 轴交于点 ，试问以线段 为直径的圆是否过 轴上的定点?若是，求出定点坐标;若不是，说明理由.
(20)(本小题满分13分)
从 中这 个数中取 ( ， )个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为 .
(Ⅰ)当 时，写出所有可能的递增等差数列及 的值;
(Ⅱ)求 ;
(Ⅲ)求证： .
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学答案(理工类) 2014.3
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B A B D C D
二、填空题
题号 9 10 11 12 13 14
答案
2
2
三、解答题
15. (本小题满分13分)
解：
.
(Ⅰ) .
显然，函数 的最小正周期为 . …………… 8分
(Ⅱ)令 得
， .
又因为 ，所以 .
函数 在 上的单调减区间为 . …………… 13分
16. (本小题满分13分)
解：(I)设事件 ：从 位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生.
由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有 人.
则 .
解得 .
所以 . …………… 4分
(II)设事件 ：从 人中任意抽取 人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生.
由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有 人.
则 . …………… 7分
(III) 的可能取值为 ， ， .
位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为 人.
所以 ，
，
.
所以 的分布列为
0 1 2
所以， . …………… 13分
17. (本小题满分14分)
(Ⅰ)证明：取 的中点 ，连接 ， .
因为 ， 分别是 ， 的中点，
所以 是△ 的中位线.
所以 ∥ ，且 .
又因为 是 的中点，且底面 为正方形，
所以 ，且 ∥ .
所以 ∥ ，且 .
所以四边形 是平行四边形.
所以 ∥ .
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 . ……………4分
(Ⅱ)证明： 因为平面 平面 ，
，且平面 平面 ，
所以 平面 .
所以 ， .
又因为 为正方形，所以 ，
所以 两两垂直.
以点 为原点，分别以 为 轴，
建立空间直角坐标系(如图).
由题意易知 ，
设 ，则
， ， ， ， , , .
因为 ， ， ，
且 ，
所以 ， .
又因为 ， 相交于 ，所以 平面 . …………… 9分
(Ⅲ)易得 ， .
设平面 的法向量为 ，则
所以 即
令 ，则 .
由(Ⅱ)可知平面 的法向量是 ，
所以 .
由图可知，二面角 的大小为锐角，
所以二面角 的余弦值为 . ……………14分
18. (本小题满分13分)
解：函数 的定义域是 ， .
(Ⅰ)(1)当 时， ，故函数 在 上单调递减.
(2)当 时， 恒成立，所以函数 在 上单调递减.
(3)当 时，令 ，又因为 ，解得 .
①当 时， ，所以函数 在 单调递减.
②当 时， ，所以函数 在 单调递增.
综上所述，当 时，函数 的单调减区间是 ，
当 时，函数 的单调减区间是 ，单调增区间为 .…7分
(Ⅱ)(1)当 时，由(Ⅰ)可知， 在 上单调递减，
所以 的最小值为 ，解得 ，舍去.
(2)当 时，由(Ⅰ)可知，
①当 ，即 时，函数 在 上单调递增，
所以函数 的最小值为 ，解得 .
②当 ，即 时，函数 在 上单调递减，
在 上单调递增，所以函数 的最小值为 ，
解得 ，舍去.
③当 ，即 时，函数 在 上单调递减，
所以函数 的最小值为 ，得 ，舍去.
综上所述， . ……………13分
19. (本小题满分14分)
解：(Ⅰ)由题意得 ，解得 ， .
所以椭圆 的方程是 . …………… 4分
(Ⅱ)以线段 为直径的圆过 轴上的定点.
由 得 .
设 ，则有 ， .
又因为点 是椭圆 的右顶点，所以点 .
由题意可知直线 的方程为 ，故点 .直线 的方程为 ，故点 .
若以线段 为直径的圆过 轴上的定点 ，则等价于 恒成立.
又因为 ， ，
所以 恒成立.
又因为
，
所以 .
解得 .
故以线段 为直径的圆过 轴上的定点 . …………… 14分
20. (本小题满分13分)
解：(Ⅰ)符合要求的递增等差数列为1，2，3;2，3，4;3，4，5;1，3，5，共4个.
所以 . …………… 3分
(Ⅱ)设满足条件的一个等差数列首项为 ，公差为 ， .
， ， 的可能取值为 .
对于给定的 ， ， 当 分别取 时，可得递增等差数列 个(如： 时， ，当 分别取 时，可得递增等差数列91个： ; ; ; ，其它同理).
所以当 取 时，可得符合要求的等差数列的个数为：
.…………… 8分
(Ⅲ)设等差数列首项为 ，公差为 ，
记 的整数部分是 ，则 ，即 .
的可能取值为 ，
对于给定的 ， ，当 分别取 时，可得递增等差数列 个.
所以当 取 时，得符合要求的等差数列的个数
易证 .
又因为 ， ，
所以 .
所以
.
即 . …………… 13分