高三数学练习题及答案：基本不等式

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1.若xy>0，则对xy+yx说法正确的是()
　　A.有最大值-2B.有最小值2
　　C.无最大值和最小值D.无法确定
　　答案：B
　　2.设x，y满足x+y=40且x，y都是正整数，则xy的最大值是()
　　A.400B.100
　　C.40D.20
　　答案：A
　　3.已知x≥2，则当x=____时，x+4x有最小值____.
　　答案：24
　　4.已知f(x)=12x+4x.
　　(1)当x>0时，求f(x)的最小值;
　　(2)当x0，∴12x，4x>0.
　　∴12x+4x≥212x?4x=83.
　　当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值83，
　　∴当x>0时，f(x)的最小值为83.
　　(2)∵x0.
　　则-f(x)=12-x+(-4x)≥212-x??-4x?=83，
　　当且仅当12-x=-4x时，即x=-3时取等号.
　　∴当x0，b>0，则1a+1b+2ab的最小值是()
　　A.2B.22
　　C.4D.5
　　解析：选C.∵1a+1b+2ab≥2ab+2ab≥22×2=4.当且仅当a=bab=1时，等号成立，即a=b=1时，不等式取得最小值4.
　　6.已知x、y均为正数，xy=8x+2y，则xy有()
　　A.最大值64B.最大值164
　　C.最小值64D.最小值164
　　解析：选C.∵x、y均为正数，
　　∴xy=8x+2y≥28x?2y=8xy，
　　当且仅当8x=2y时等号成立.
　　∴xy≥64.
　　二、填空题
　　7.函数y=x+1x+1(x≥0)的最小值为________.
　　答案：1
　　8.若x>0，y>0，且x+4y=1，则xy有最________值，其值为________.
　　解析：1=x+4y≥2x?4y=4xy，∴xy≤116.
　　答案：大116
　　9.(2010年高考山东卷)已知x，y∈R+，且满足x3+y4=1，则xy的最大值为________.
　　解析：∵x>0，y>0且1=x3+y4≥2xy12，∴xy≤3.
　　当且仅当x3=y4时取等号.
　　答案：3
　　三、解答题
　　10.(1)设x>-1，求函数y=x+4x+1+6的最小值;
　　(2)求函数y=x2+8x-1(x>1)的最值.
　　解：(1)∵x>-1，∴x+1>0.
　　∴y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+5
　　≥2?x+1??4x+1+5=9，
　　当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.
　　∴x=1时，函数的最小值是9.
　　(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1
　　=(x-1)+9x-1+2.∵x>1，∴x-1>0.
　　∴(x-1)+9x-1+2≥2?x-1??9x-1+2=8.
　　当且仅当x-1=9x-1，即x=4时等号成立，
　　∴y有最小值8.
　　11.已知a，b，c∈(0，+∞)，且a+b+c=1，求证：(1a-1)?(1b-1)?(1c-1)≥8.
　　证明：∵a，b，c∈(0，+∞)，a+b+c=1，
　　∴1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca≥2bca，
　　同理1b-1≥2acb，1c-1≥2abc，
　　以上三个不等式两边分别相乘得
　　(1a-1)(1b-1)(1c-1)≥8.
　　当且仅当a=b=c时取等号.
　　12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计).
　　问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.
　　解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米.
　　总造价f(x)=400×(2x+2×200x)+100×200x+60×200
　　=800×(x+225x)+12000
　　≥1600x?225x+12000
　　=36000(元)
　　当且仅当x=225x(x>0)，
　　即x=15时等号成立.