北师大版八年级下册数学书习题1.4详细解答过程和答案

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习题1.4第1题详细解答过程和答案
证明：
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°.
∴∠A=∠ADE=∠AED=60°.
∴△ADE是等边三角形.
习题1.4第2题详细解答过程和答案
解：∵BC⊥AC．
∴∠ACB=90°．
在Rt△ACB中，∠A=30°,
∴BC=1/2AB=1/2×7.4=3. 7(m)．
∵D为AB的中点，
∴AD=1/2 AB=1/2×7.4=3. 7(m)．
∵DE⊥AC，
∴∠AED=90°．
在Rt△AED中，
∵∠A=30°，
∴DE=1/2AD=1/2×3.7=1.85（m）.
∴BC的长为3.7m，DE的长为1.85m.
习题1.4第3题详细解答过程和答案
解：(1)①△DEF是等边三角形．
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵BC∥EF，
∴∠EAB=∠ABC=60°．
又∵AB∥DF，
∴∠EAB=∠F=60°.
同理可证∠E=∠D=60°．
∴△DEF是等边三角形．
②△ABE，△ACF，△BCD也都是等边三角形.点A，B，C分别是EF，ED，FD的中点.
证明：
∵EF∥BC．
∴∠EAB=∠ABC，∠FAC=∠ACB.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠EAB=∠FAC=60°.
同理可证∠EBA=∠DBC=60°．∠FCA=∠DCB=60°
∴∠E=∠F=∠D=60°.
∴△ABE，△ACF，△BCD都是等边三角形．
又∵AB= BC=AC，∴AE=AF=BE=BD=CF=CD，即点A，B，C分别是EF．ED、FD的中点.
(2)△ABC是等边j角形．
证明：
∵点A，B，C分别是EF，ED，FD的中点，
∴AE=AF=1/2EF，BE=BD= 1/2ED,CF=CD=1/2FD．
又∵△DEF是等边三角形，
∴∠E=∠F=∠D=60°(等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°)，EF= ED= FD(等边三角形的三条边都相等)．
∴AE=AF=BE=BD=CF=CD.
∴△ABE，△BCD，△ACF都是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ AB=AE，BC=BD，AC=AF，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形．
习题1.4第4题详细解答过程和答案
已知：如图1-1-48所示，
在Rt△ABC-中，
∠BAC=90°，BC=1/2AB．
求证：∠BAC=30°.
证明：延长BC至  点D，使CD=BC，连接AD .
∵∠BCA=90°，
∴∠DCA=90°.
又∵BC=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC( SAS)，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC（全等三角形的对应边相等、对应角相等）．
又∵BC=1/2AB，
∴ BD=AB=AD，
∴△ABD为等边三角形．
∴∠B4D= 60°.
又∵∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC=30°.
习题1.4第5题详细解答过程和答案
解：∠ADG=15°．
证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB=AD=DC.
又∵E，F分别是AB，DC的中点，
∴EF∥AD，FD=1/2DC=1/2AD=1/2A'D.
而AD⊥CD，
∴EF⊥CD,
∴∠EFD=90°.
在Rt△A'FD中，FD=1/2A'D，利用第4题的结论可得∠DA'F=30°.
由平行线及翻折的性质可知∠DA'F=2∠ADG=30°，所以∠ADG=15°.