普通高中同步练习册数学_A2-2_参考答案
参考答案与解析第一章 导数及其应用1.1 变化率与导数1.1.1 变化率问题1.1.2 导数的概念题型分类指导【例题1】 解:Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=2(x0+Δx)2+1-(2+1)=4x0·Δx+2(Δx)2,∴函数f(x)=2x2+1在区间Δx]上的平均变化率为=4x0+2Δx,当x0=1,Δx=时,平均变化率为4×1+2×=5.【例题2】 解:当自变量从0变到Δx时,函数的平均变化率为k1=.当自变量从变到Δx+时,函数的平均变化率为k2=.由于是在x=0和x=附近的平均变化率,可知|Δx|较小,但Δx既可为正,又可为负.当Δx>0时,k1>0,k2<0,此时有k1>k2;当Δx<0时,k1-k2==.∵Δx<0,∴Δx-<-,∴sin<-.从而有sin<-1,sin+1<0,∴k1-k2>0,即k1>k2.综上可知,正弦函数y=sin x在x=0附近的平均变化率大于在x=附近的平均变化率.以上数据说明:正弦函数y=sin x在x=0处附近的平均变化率较大,图象比较陡峭;而在x=附近变化率较小,图象比较平缓.【例题3】 解:∵Δy=(1+Δx)-=Δx+1-=Δx+.∴=1+,∴=2.从而f'(1)=2.【例题4】 解:(1)∵物体在t∈内的时间变化量为Δt=5-3=2,物体在t∈内的位移变化量为Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48,∴物体在t∈内的平均速度为=24(m/s).(2)求物体的初速度v0,即求物体在t=0时的瞬时速度.∵物体在t=0附近位移的平均变化率为 ==3Δt-18,∴物体在t=0处位移的瞬时变化率为(3Δt-18)=-18,即物体的初速度v0=-18 m/s.(3)物体在t=1时的瞬时速度即为物体在t=1处位移的瞬时变化率.∵物体在t=1附近位移的平均变化率为 ==3Δt-12,∴物体在t=1处位移的瞬时变化率为(3Δt-12)=-12,即物体在t=1时的瞬时速度为-12 m/s.完整答案请下载附件
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