2018图论在变风量空调系统水力分析中的应用
摘要：本文基于图论的流体网络基本方程对一典型的变风量空调系统建立了流体网络图，并运用MATLAB语言编制了计算基本关联矩阵的通用程序，同时编制了用于计算各工况下VAV系统内压力-流量分布特性的整体计算程序，为变风量空调系统运行工况下的压力-流量水力分析打下了基础。关键词：图论，流体网络，水力分析，关联矩阵，建模
图论作为一门研究流体管网的得力工具，在暖通空调领域得到了广泛应用。利用这一工具进行燃气管网、供热管网、空调通风管网以及供水管网的水力计算和运行工况分析，推动了暖通空调行业的发展。
1 流体网络基本方程
根据质量守衡(流体网络任一节点上的支路流量的代数和恒为零――根据基尔霍夫电流定律)和能量守衡(流体网络中任一回路内，支路的压降的代数和恒为零――根据基尔霍夫电压定律)两个原理，这些流体输配管网应满足
式中：A流体网络图的基本关联矩阵，设管网的节点数为n，管段数为b，为一(n-1)b阶矩阵;G管路流量向量，b维列向量;B流体网络图的独立回路矩阵，为一(b-n+1)b阶矩阵;H管路压降列向量，b维列向量;DH管路风机/水泵压头，b维列向量，当管段i上没有风机/水泵时，DH(i)=0，当管段i上有风机/水泵时，|DH(i)|为风机压头，风机方向与管路方向一致时，DH(i)取正，风机方向与管路方向相反时，DH(i)取负;S以管路阻抗s为元素的bb维对角阵;Z管路起止节点位能差向量，b维列向量;|G|以管路流量的绝对值为元素的bb维对角阵;P各节点相对于参考节点的压差向量，(n-1)维列向量。
2 基本关联矩阵A、基本回路矩阵B，以及两者的关系
对于图1所示的图G，其节点数n=4，支路数b=6，节点和支路的编号及指向如图1中所示。它的关联矩阵Aa为一nb阶矩阵，其行对应于节点，其列对应于支路，而任一元素aij定义如下：aij=1，如果支路j和节点i关联，且支路j的方向离开节点i;aij=-1，如果支路j和节点i关联，且支路j的方向指向节点i;aij=0，如果支路j和节点i无关联。
因此，图1中的Aa为：
将关联矩阵Aa的任一行划去，所得的矩阵A的秩仍为n-1，这个矩阵实质上已经包含了Aa的全部内容，划去的行所对应的节点vi即为参考节点，矩阵A称为以vi为参考节点的基本关联矩阵。
可以用另一回路矩阵Ba来描述图1中图G的回路与支路的关联性质，Ba为sb阶矩阵，其中s为G的回路数，b为支路数。在各回路中，预先标出该回路的方向，回路的方向可以按需要任意选择。则Ba的任一元素bij定义如下：bij=1，如果支路j在回路i中，且支路的方向与回路方向一致;bij=-1，如果支路j在回路i中，且支路的方向与回路的方向相反;bij=0，如果支路j不在回路i中。
对于一个节点数为n，支路数为b的连通图G，回路矩阵Ba的秩为m=b-n+1。可见，回路矩阵Ba中只有m行线性无关，将这m行取出来构成一个mb的子矩阵，这个矩阵就完全能把Ba的信息表达清楚，且这m个回路是独立的，矩阵B称为图G的独立回路矩阵。
基本关联矩阵A和独立回路矩阵B满足正交性，即
ABT=0 (3)
由上式得出，只要知道了图G的基本关联矩阵，就可以求出它的独立回路矩阵。
3 基本关联矩阵的MATLAB程序
本文选取一典型的VAV空调系统管网，抽象成一个网络图， 共有n=60个节点、b=88条支路。该VAV空调系统的流体网络图的生成树，有n-1=59条树枝，余枝有b-n+1=29条，单余枝回路应有b-n+1=29。
在进行了节点、支路的编号后，同时系统各支路的流量方向也是明确的(由实际工程系统决定)。根据所编制的程序，只需给出图的节点数、支路数和输入各管段的起、止节点编号便能生成系统网络图的关联矩阵，在给出参考节点编号后，就能得到参考节点的基本关联矩阵。依据文献【2】中的二数组法，编制了该VAV空调系统管网网络图的基本关联矩阵的MATLAB通用程序tulungljz.m：
function A=tulungljz(branchnum，nodenum，l)
%branchnum为管段数，nodenum为节点数，l为参考节点的编号。
Aa=zeros(nodenum，branchnum);
for i=1：branchnum
branch=num2str(i);
n1=input(strcat(请输入第，branch，条管路起点的节点编号：));
n2=input(strcat(请输入第，branch， 条管路终点的节点编号：));
IA(i，1)=n1; IA(i，2)=n2;
Aa(IA(i，1)，i)=1;
Aa(IA(i，2)，i)=-1;
End %Aa为关联矩阵
for i=1：nodenum-1
for j=1：branchnum
if il
A(i，j)=Aa(i，j);
elseif i =l
A(i，j)=Aa(i+1，j);
end
end
end %A为参考点的基本关联矩阵
可见，该程序简单，而且很接近对管网的描述，不易出错。
4 整体计算的程序方框图
在以上工作的基础上，编制了用于计算各工况下VAV系统内压力-流量分布特性的整体计算程序。程序方框图见图2。图中为预先指定的精度，本文取=0.001。关联矩阵A、独立回路矩阵Bf按余枝在前，树枝在后的次序排列;流量列向量G、阻抗列向量s、压降列向量P按余枝在上、树枝在下的次序排列。节点压力列向量Ptotnode，次序不变，仍是按节点的编号次序排列。所以：
给出某一工况下的初始条件包括送风机、回风机的风量与转速，各末端box阀位角，某些支路的阻抗s、余枝的初始流量GL，根据图2的程序方框图的计算程序，便可进行该VAV变风量空调系统运行工况下各节点各支路的压力、流量计算。
5 结语
本文基于图论的流体网络基本方程对一典型的变风量空调系统建立了流体网络图，并运用MATLAB语言编制了计算基本关联矩阵的通用程序，同时编制了用于计算各工况下VAV系统内压力-流量分布特性的整体计算程序，为变风量空调系统运行工况下的压力-流量水力分析打下了基础。
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