2018超静定分析中基本结构限制的突破四-减半降阶法与分级降阶法
1．引言超静定分析（尤指手算）的最大困难在于求解高阶线性方程组，若能把阶数降下来，手算就能顺利完成。文献已介绍了几种降阶法，但其应用范围往往制约于辅助内力图计算的非方程法的应用条件；为了克服这一困难，这里引进减半降阶与分级降阶的概念，并用实例分别介绍这两种降阶法的计算步骤。
2．减半降阶法
在无结点线位移结构的分析中，力矩分配法占有重要地位；但作为一种渐近法，面临高精度要求时必然会遇到计算量过大等因素的困扰。一分多传法解决了有限结点数的不封闭结构（如连续梁与单层框架等）用力矩分配法求精确解的问题，但对于封闭结构（如多层刚架等），一分多传法已无能为力；诚然，位移法是可以计算此类问题的，但阶数一旦超过3，计算量就会陡升。若能把阶数降下来，显然非常有利于计算分析和校核，包括电算结果的校核。下面要介绍的减半降阶法可以收到良好效果。由于一般情况阶数可减半，故称减半降阶法，举例说明。
【例 1 】结构如图
1a），用减半降阶法分析并作M 图(圈内数字为线刚度相对值)。
分析：结构虽只有4 个结点角位移且无结点线位移，但因自身封闭，无法应用一分多传法完成分析。若减半只设2 个基本未知量，同样可以按位移法的基本步骤，较快捷地完成计算，且给出精确解。
1. 减半降阶法源于无结点线位移封闭结构的分析，可视作无法采用一分多传法求精确解的替代方法；
2. 该法的基本结构可按结点相间要求确定，由于锁住选定结点后，余下结点的转动可按单结点力矩分配法计算，相应辅助内力图的绘制非常快捷；
3．其它应用
减半降阶法除了可用于无结点线位移封闭结构的计算外，应用于跨数较多的连续梁、符合无剪力分配法的多跨跨刚架以及单层多跨无侧移刚架的计算上亦很简捷，举例说明。
【例 2】6 跨连续梁如图
2a），各跨长度及抗弯刚度EI 相同，用减半降阶法求作M 图。
用（位移法）大写M；1 级分析荷载弯矩图用双下标，如iP m 、PP m 等；其中第一下标表示本次1 级分析的目标分别为（对应于2 级分析的）的第i 个单位位移弯矩图i M 和荷载弯矩图P M ；而单位位移弯矩图i m 则与计算目标无关，可用单下标即可。
4．分级降阶法
对于未知量过多的结构分析，若能把阶数降下来，则对简化计算十分有利。分级降阶法，就是把原本高价的问题分解为几个低阶问题计算。
引入 2 个概念： 计算机毕业论文
2 级分析：寻求计算最终内力所需做出的结点位移计算及内力计算。
1 级分析：为2 级分析的方程的建立提供数据（包括系数矩阵系数与自由项）的计算。
一般的梁柱结构的分析均可按分级降阶的原理，把高阶方程化为几个低阶方程计算。
对于有侧移的单层刚架，可设侧移量为2 级分析的未知量，这样，建立一元一次方程的系数与常数项的1 级分析就可用减半降阶法计算了，举例说明。
为了避免符号的混淆，约定1 级分析的辅助内力图用小写m，2 级分析的辅助弯矩图沿用（位移法）大写M；1 级分析荷载弯矩图用双下标，如iP m 、PP m 等；其中第一下标表示本次1 级分析的目标分别为（对应于2 级分析的）的第i 个单位位移弯矩图i M 和荷载弯矩图P M ；而单位位移弯矩图i m 则与计算目标无关，可用单下标即可。
【例 5 】结构如图5 a），除EF 杆的线刚度为2/3 外，其余各杆线刚度同为1，用分级降阶法分析并作M 图。
分析：结构有1 个线位移及5 个角位移共6 个独立结点位移，普通位移法手算已相当困难。如设横梁的水平线位移为基本未知量，位移法方程为一元一次；只是要保证高精度的辅助内力图有1 M 和P M 并不容易。因为无论选择普通力矩分配法或一分多传法不但都显得计算量过大，还受到计算工具字长的限制引起的多次误差积累的影响。而采用普通位移法，则需面对一个5 元一次方程组，手算也实在不易。现在，上一节介绍的减半降阶法可以派上用场了，可以快捷精确地算出辅助内力图。
分级降阶法计算步骤：
1）选结点线位移作2 级分析的基本未知量，用1 级分析计算相应辅助内力图i M 、P M等（遇到框架结构时，可利用大刚臂简化计算，但1、2 级分析必须统一）；
2）用1 级算出的辅助内力作2 分析并绘制M 图。
5．总结
对于无结点线位移的结构，一般可采用力矩分配法作近似计算。倘若结点不多且结构自身不封闭，还可采用一分多传法以求精确解。但对于封闭结构，一分多传法已无能为力。此时当然还可采用（普通）位移法分析；倘若采用减半降阶法，解方程及杆端力的计算都可得到大幅度简化，只是辅助内力图的绘制需要较熟练的（单结点）力矩分配法技能，相信绝大多数相关专业的在校生及工程师不会在这一环节感到困难。如果结构本身有线位移而结构又不符合无剪力分配条件，则分级降阶法可以把困难分散和弱化，以利手算。
减半降阶法与分级降阶法，隶属结构力学超静定分析中的精确法。对手算法有明显的帮助，是否对电算（尤指软件开发）产生影响或能有多大影响有待进一步的研究。但笔者相信，本法在帮助业者深刻理解超静定分析的理论实质以及激发创新意识具有良好的作用。
页:
[1]