高三年级数学期中复习试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．．1．若复数的实部与虚部相等，则实数（）A
（A）
（B）
（C）
（D）
2.已知，猜想的表达式为（）.
A.B.C.D.
3．等比数列中，，则“”是“”的B
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
4．从甲、乙等名志愿者中选出名，分别从事，，，四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事工作，则不同的工作分配方案共有B
（A）种
（B）种
（C）种
（D）种
5.已知定义在上的函数的对称轴为，且当时，.若函数在区间（）上有零点，则的值为A
（A）或（B）或（C）或（D）或
6．已知函数，其中．若对于任意的，都有，则的取值范围是D
（A）
（B）
（C）
（D）
7.已知函数有且仅有两个不同的零点，，则B
A．当时，，B.当时，，
C.当时，，D.当时，，
8．如图，正方体中，为底面
上的动点，于，且，则点的
轨迹是A
（A）线段（B）圆弧
（C）椭圆的一部分（D）抛物线的一部分
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．设等差数列的公差不为，其前项和是．若，，则______．5
10.的展开式中的系数是．160
11．设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为,则______.
12．在直角坐标系中，点与点关于原点对称．点在抛物线上，且直线与的斜率之积等于，则______．
13.数列的通项公式，前项和为，则___________。3018
14．记实数中的*大数为，*小数为.设△
的三边边长分别为，且，定义△的倾斜度为
．
（ⅰ）若△为等腰三角形，则______；1
（ⅱ）设，则的取值范围是______．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题共14分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）讨论的单调性；
（III）若存在*大值，且，求的取值范围．
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）当时，．
．
所以．
又，
所以曲线在点处的切线方程是，
即．
（Ⅱ）函数的定义域为，
．
当时，由知恒成立，
此时在区间上单调递减．
当时，由知恒成立，
此时在区间上单调递增．
当时，由，得，由，得，
此时在区间内单调递增，在区间内单调递减．
（III）由（Ⅱ）知函数的定义域为，
当或时，在区间上单调，此时函数无*大值．
当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，
所以当时函数有*大值．
*大值．
因为，所以有，解之得．
所以的取值范围是．
16．（本小题满分13分）
已知函数的一个零点是．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）设，求的单调递增区间．
（Ⅰ）解：依题意，得，………………1分
即，………………3分
解得．………………5分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得．………………6分
………………7分
………………8分
………………9分
．………………10分
由，
得，．………………12分
所以的单调递增区间为，．………………13分
1
17.（本小题满分13分）已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.
(1)求数列{bn}的通项公式bn;
(2)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a＞0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论.
(1)解：设数列{bn}的公差为d,由题意得,∴bn=3n－2
(2)证明：由bn=3n－2知
Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+)
=loga［(1+1)(1+)…(1+)］
而logabn+1=loga,于是，比较Sn与logabn+1?的大小比较(1+1)(1+)…(1+)与的大小.
取n=1，有(1+1)=
取n=2，有(1+1)(1+
推测：(1+1)(1+)…(1+)＞(*)
①当n=1时，已验证(*)式成立.
②假设n=k(k≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)＞
则当n=k+1时，
,即当n=k+1时，(*)式成立
由①②知，(*)式对任意正整数n都成立.
于是，当a＞1时，Sn＞logabn+1?,当0＜a＜1时，Sn＜logabn+1?
18．（本小题满分13分）
已知函数，，其中．
（Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围．
18.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：的定义域为，………………1分
且．………………2分
①当时，，故在上单调递减．
从而没有极大值，也没有极小值．………………3分
②当时，令，得．
和的情况如下：
↘↗
故的单调减区间为；单调增区间为．
从而的极小值为；没有极大值．………………5分
（Ⅱ）解：的定义域为，且．………………6分
③当时，显然，从而在上单调递增．
由（Ⅰ）得，此时在上单调递增，符合题意．………………8分
④当时，在上单调递增，在上单调递减，不合题意．……9分
⑤当时，令，得．
和的情况如下表：
↘↗
当时，，此时在上单调递增，由于在上单调递减，不合题意．………………11分
当时，，此时在上单调递减，由于在上单调递减，符合题意．
综上，的取值范围是．………………13分
19．（本小题满分14分）
如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于，两点．当直线经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率；
（Ⅱ）设线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点．记△的面积为，△（为原点）的面积为，求的取值范围．
19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：依题意，当直线经过椭圆的顶点时，其倾斜角为．………………1分
设，
则．………………2分
将代入，
解得．………………3分
所以椭圆的离心率为．………………4分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），椭圆的方程可设为．………………5分
设，．
依题意，直线不能与轴垂直，故设直线的方程为，将其代入
，整理得．………………7分
则，，．
………………8分
因为，
所以，．………………9分
因为△∽△，
所以………………11分
．………………13分
所以的取值范围是．………………14分
（20）（本小题共13分）
设是由个有序实数构成的一个数组，记作：.其中称为数组的“元”，称为的下标.如果数组中的每个“元”都是来自数组中不同下标的“元”，则称为的子数组.定义两个数组，的关系数为.
（Ⅰ）若，，设是的含有两个“元”的子数组，求的*大值；
（Ⅱ）若，，且，为的含有三个“元”的子数组，求的*大值.
（20）（共13分）
解：（Ⅰ）依据题意，当时，取得*大值为2．
（Ⅱ）①当是中的“元”时，由于的三个“元”都相等，及中三个“元”的对称性，可以只计算的*大值，其中．
由，
得．
当且仅当，且时，达到*大值，
于是．
②当不是中的“元”时，计算的*大值，
由于，
所以．
，
当且仅当时，等号成立．
即当时，取得*大值，此时．
综上所述，的*大值为1．
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