高三数学练习题及答案：基本不等式
1.若xy>0，则对xy+yx说法正确的是()A.有最大值-2B.有最小值2
C.无最大值和最小值D.无法确定
答案：B
2.设x，y满足x+y=40且x，y都是正整数，则xy的最大值是()
A.400B.100
C.40D.20
答案：A
3.已知x≥2，则当x=____时，x+4x有最小值____.
答案：24
4.已知f(x)=12x+4x.
(1)当x>0时，求f(x)的最小值;
(2)当x0，∴12x，4x>0.
∴12x+4x≥212x?4x=83.
当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值83，
∴当x>0时，f(x)的最小值为83.
(2)∵x0.
则-f(x)=12-x+(-4x)≥212-x??-4x?=83，
当且仅当12-x=-4x时，即x=-3时取等号.
∴当x0，b>0，则1a+1b+2ab的最小值是()
A.2B.22
C.4D.5
解析：选C.∵1a+1b+2ab≥2ab+2ab≥22×2=4.当且仅当a=bab=1时，等号成立，即a=b=1时，不等式取得最小值4.
6.已知x、y均为正数，xy=8x+2y，则xy有()
A.最大值64B.最大值164
C.最小值64D.最小值164
解析：选C.∵x、y均为正数，
∴xy=8x+2y≥28x?2y=8xy，
当且仅当8x=2y时等号成立.
∴xy≥64.
二、填空题
7.函数y=x+1x+1(x≥0)的最小值为________.
答案：1
8.若x>0，y>0，且x+4y=1，则xy有最________值，其值为________.
解析：1=x+4y≥2x?4y=4xy，∴xy≤116.
答案：大116
9.(2010年高考山东卷)已知x，y∈R+，且满足x3+y4=1，则xy的最大值为________.
解析：∵x>0，y>0且1=x3+y4≥2xy12，∴xy≤3.
当且仅当x3=y4时取等号.
答案：3
三、解答题
10.(1)设x>-1，求函数y=x+4x+1+6的最小值;
(2)求函数y=x2+8x-1(x>1)的最值.
解：(1)∵x>-1，∴x+1>0.
∴y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+5
≥2?x+1??4x+1+5=9，
当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.
∴x=1时，函数的最小值是9.
(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1
=(x-1)+9x-1+2.∵x>1，∴x-1>0.
∴(x-1)+9x-1+2≥2?x-1??9x-1+2=8.
当且仅当x-1=9x-1，即x=4时等号成立，
∴y有最小值8.
11.已知a，b，c∈(0，+∞)，且a+b+c=1，求证：(1a-1)?(1b-1)?(1c-1)≥8.
证明：∵a，b，c∈(0，+∞)，a+b+c=1，
∴1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca≥2bca，
同理1b-1≥2acb，1c-1≥2abc，
以上三个不等式两边分别相乘得
(1a-1)(1b-1)(1c-1)≥8.
当且仅当a=b=c时取等号.
12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计).
问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.
解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米.
总造价f(x)=400×(2x+2×200x)+100×200x+60×200
=800×(x+225x)+12000
≥1600x?225x+12000
=36000(元)
当且仅当x=225x(x>0)，
即x=15时等号成立.
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